C++ 漫谈哈夫曼树

1. 前言

什么是哈夫曼树?

把权值不同的n个结点构造成一棵二叉树,如果此树满足以下几个条件:

  • n 个结点为二叉树的叶结点
  • 权值较大的结点离根结点较近,权值较小的结点离根结点较远。
  • 该树的带权路径长度是所有可能构建的二叉树中最小的。

则称符合上述条件的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)

构建哈夫曼树的目的是什么?

用来解决在通信系统中如何使用最少的二进制位编码字符信息。

本文将和大家聊聊哈夫曼树的设计思想以及构建过程。

2. 设计思路

哈夫曼树产生的背景:

在通信系统中传递一串字符串文本时,需要对这一串字符串文本信息进行二进制编码。编码时如何保证所用到的bit位是最少的,或保证整个编码后的传输长度最短。

现假设字符串由ABCD 4个字符组成,最直接的想法是使用 2bit位进行等长编码,如下表格所示:

字符 编码
A 00
B 01
C 10
D 11

传输ABCD字符串一次时,所需bit2位,当通信次数达到 n次时,则需要的总传输长度为 n*2。当字符串的传输次数为 1000次时,所需要传输的总长度为 2000bit

使用等长编码时,如果传输的报文中有 26 个不同字符时,因需要对每一个字符进行编码,至少需要 5bit

但在实际应用中,各个字符的出现频率或使用次数是不相同的,如A、B、C的使用频率远远高于X、Y、Z。使用等长编码特点是无论字符出现的频率差异有多大,每一个字符都得使用相同的bit位。

哈夫曼的设计思想

  • 对字符串信息进行编码设计时,让使用频率高的字符使用短码,使用频率低的用长码,以优化整个信息编码的长度。
  • 基于这种简单、朴素的想法设计出来的编码也称为不等长编码

哈夫曼不等长编码的具体思路如下:

如现在要发送仅由A、B、C、D 4 个字符组成的报文信息 ,A字符在信息中占比为 50%B的占比是 20% C的占比是 15%D的 占比是10%

不等长编码的朴实思想是字符的占比越大,所用的bit位就少,占比越小,所用bit位越多。如下为每一个字符使用的bit位数:

  • A使用 1bit编码。
  • B使用 2bit编码。
  • C 使用 3bit编码。
  • D 使用 3bit 编码。

具体编码如下表格所示:

字符 占比 编码
A 0.5 0
B 0.2 10
C 0.15 110
D 0.1 111

如此编码后,是否真的比前面的等长编码所使用的总bit位要少?

计算结果=0.5*1+0.2*2+0.15*3+0.1*3=1.65

先计算每一个字符在报文信息中的占比乘以字符所使用的bit位。

然后对上述每一个字符计算后的结果进行相加。

显然,编码ABCD只需要 1.65bit ,比等长编码用到的2 个 bit位要少 。当传输信息量为 1000时,总共所需要的bit位=1.65*1000=1650 bit

哈夫曼编码和哈夫曼树有什么关系?

因为字符的编码是通过构建一棵自下向上的二叉树推导出来的,如下图所示:

哈夫曼树的特点:

  • 信息结点都是叶子结点。
  • 叶子结点具有权值。如上二叉树,A结点权值为0.5B结点权值为0.2C结点权值为0.15D结点权值为 0.1
  • 哈夫曼编码为不等长前缀编码(即要求一个字符的编码不能是另一个字符编码的前缀)。
  • 根结点开始,为左右分支分别编号01,然后顺序连接从根结点到叶结点所有分支上的编号得到字符的编码。

相信大家对哈夫曼树有了一个大概了解,至于如何通过构建哈夫曼树,咱们继续再聊。

3. 构建思路

在构建哈夫曼树之前,先了解几个相关概念:

  • 路径和路径长度:在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1,则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1

  • 结点的权及带权路径长度:若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

  • 树的带权路径长度:树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为WPL

如有权值为{3,4,9,15}4 个结点,则可构造出不同的二叉树,其带权路径长度也会不同。如下 3 种二叉树中,B的树带权路径长度是最小的。

哈夫曼树的构建过程就是要保证树的带权路径长度最小。

那么,如何构建二叉树,才能保证构建出来的二叉树的带权路径长度最小?

如有一字符串信息由 ABCDEFGH 8个字符组成,每一个字符的权值分别为{3,6,12,9,4,8,21,22},构建最优哈夫曼树的流程:

  1. 以每一个结点为根结点构建一个单根二叉树,二叉树的左右子结点为空,根结点的权值为每个结点的权值。并存储到一个树集合中。

  1. 树集合中选择根结点的权值最小的 2 个树。重新构建一棵新二叉树,让刚选择出来的2 棵树的根结点成为这棵新树的左右子结点,新树的根结点的权值为 2 个左右子结点权值的和。构建完成后从树集合中删除原来 2个结点,并把新二叉树放入树集合中。

    如下图所示。权值为 34的结点为新二叉树的左右子结点,新树根结点的权值为7

  1. 重复第二步,直到树集合中只有一个根结点为止。

当集合中只存在一个根结点时,停止构建,并且为最后生成树的每一个非叶子结点的左结点分支标注0,右结点分支标注1。如下图所示:

通过上述从下向上的思想构建出来的二叉树,可以保证权值较小的结点离根结点较远,权值较大的结点离根结点较近。最终二叉树的带权路径长度: WPL=(3+4)*5+6*4+(8+9+12)*3+(21+22)*2=232 。并且此树的带权路径长度是所有可能构建出来的二叉树中最小的。

上述的构建思想即为哈夫曼树设计思想,不同权值的字符编码就是结点路径上01的顺序组合。如下表所述,权值越大,其编码越小,权值越小,其编码越大。其编码长度即从根结点到此叶结点的路径长度。

字符 权值 编码
A 3 11110
B 6 1110
C 12 110
D 9 001
E 4 11111
F 8 000
G 21 01
H 22 10

4. 编码实现

4.1 使用优先队列

可以把权值不同的结点分别存储在优先队列(Priority Queue)中,并且给与权重较低的结点较高的优先级(Priority)

具体实现哈夫曼树算法如下:

  1. n个结点存储到优先队列中,则n个节点都有一个优先权Pi。这里是权值越小,优先权越高。
  2. 如果队列内的节点数>1,则:
  • 从队列中移除两个最小的结点。

  • 产生一个新节点,此节点为队列中移除节点的父节点,且此节点的权重值为两节点之权值之和,把新结点加入队列中。

  • 重复上述过程,最后留在优先队列里的结点为哈夫曼树的根节点(root)。

完整代码:

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
//树结点
struct TreeNode {
	//结点权值
	float weight;
	//左结点
	TreeNode *lelfChild;
	//右结点
	TreeNode *rightChild;
    //初始化
	TreeNode(float w) {
		weight=w;
		lelfChild=NULL;
		rightChild=NULL;
    }
};
//为优先队列提供比较函数
struct comp {
	bool operator() (TreeNode * a, TreeNode * b) {
        //由大到小排列
		return a->weight > b->weight; 
	}
};

//哈夫曼树类
class HfmTree {
	private:
         //优先队列容器
		priority_queue,comp> hfmQueue;
	public:
		//构造函数,构建单根结点树
		HfmTree(int weights[8]) {
			for(int i=0; i<8; i++) {
				//创建不同权值的单根树
				TreeNode *tn=new TreeNode(weights[i]);
				hfmQueue.push(tn);
			}
		}
		//显示队列中的最一个结点
		TreeNode* showHfmRoot() {
			TreeNode *tn;
			while(!hfmQueue.empty()) {
				tn= hfmQueue.top();
				hfmQueue.pop();
			}
			return tn;
		}
		//构建哈夫曼树
		void create() {
             //重复直到队列中只有一个结点
			while(hfmQueue.size()!=1) {
				//从优先队列中找到权值最小的 2 个单根树
				TreeNode *minFirst=hfmQueue.top();
				hfmQueue.pop();
				TreeNode *minSecond=hfmQueue.top();
				hfmQueue.pop();
				//创建新的二叉树
				TreeNode *newRoot=new TreeNode(minFirst->weight+minSecond->weight);
				newRoot->lelfChild=minFirst;
				newRoot->rightChild=minSecond;
				//新二叉树放入队列中
				hfmQueue.push(newRoot);
			}
		}
		//按前序遍历哈夫曼树的所有结点
		void showHfmTree(TreeNode *root) {
			if(root!=NULL) {
				cout<weight<lelfChild);
				showHfmTree(root->rightChild);
			}
		}
		//析构函数
		~HfmTree() {
            //省略
		}
};

//测试
int main(int argc, char** argv) {
	//不同权值的结点
	int weights[8]= {3,6,12,9,4,8,21,22};
    //调用构造函数
	HfmTree hfmTree(weights);
    //创建哈夫曼树
	hfmTree.create();
    //前序方式显示哈夫曼树
	TreeNode *root= hfmTree.showHfmRoot();
	hfmTree.showHfmTree(root);
	return 0;
}

显示结果:

上述输出结果,和前文的演示结果是一样的。

此算法的时间复杂度为O(nlogn)。因为有n个结点,所以树总共有2n-1个节点,使用优先队列每个循环须O(log n)

4.2 使用一维数组

除了上文的使用优先队列之外,还可以使用一维数组的存储方式实现。

在哈夫曼树中,叶子结点有 n个,非叶子结点有 n-1个,使用数组保存哈夫曼树上所的结点需要 2n-1个存储空间 。其算法思路和前文使用队列的思路差不多。直接上代码:

#include 
using namespace std;
//叶结点数量
const unsigned int n=8;
//一维数组长度
const unsigned int m= 2*n -1;
//树结点
struct TreeNode {
	//权值
	float weight;
	//父结点
	int parent;
	//左结点
	int leftChild;
	//右结点
	int rightChild;
};
class HuffmanTree {
	public:
		//创建一维数组
		TreeNode hfmNodes[m+1];
	public:
		//构造函数
		HuffmanTree(int weights[8]);
		~HuffmanTree( ) {

		}
		void findMinNode(int k, int &s1, int &s2);
		void showInfo() {
			for(int i=0; ifindMinNode(i-1, firstMin, secondMin);
		hfmNodes[firstMin].parent = i;
		hfmNodes[secondMin].parent = i;
		hfmNodes[i].leftChild = firstMin;
		hfmNodes[i].rightChild = secondMin;
		hfmNodes[i].weight = hfmNodes[firstMin].weight + hfmNodes[se
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